2013省考个例独解：数量关系之“计数原理”

计数原理是省考行测考试中的常考知识点之一，也是我们分类分步思想下的一种解题方法，在数学运算中经常遇到此类题型。那么，分类和分步的核心思想是什么呢?即“全面、不重复”。

计数原理是讨论方法数时最简单的一类问题，通过分类和分步的思想，即：分类方法数相加，分步方法数相乘，来完成一个事件的计数，这也是我们解题的核心和关键。下面我们通过几个例题来加深理解。

例1.平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这句话描述的正确吗?为什么?

【中公解析】不正确。矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如下图所示：

这其中就有重叠部分(交集不空)，不符合“全面、不重复”的解题思想。

例2. 三边长均为整数且最长边长为2009的三角形共有多少个?( )

A.1008016     B.1009020     C.1010025     D.2019045

【中公解析】答案C。设另两边长分别为x、y，且1≤x≤y≤2009(x、y∈Z)，根据构成三角形条件可得：y+x≥2010，y-x≤2008;分类讨论如下：

当y取2009时，x=1，2，3，……，2009，有2009个;

当y取2008时，x=2，3，……，2008，有2007个;

当y取2007时，x=3，4，……，2007，有2005个;

……

当y取2005时，x只能取2005，有1个;

当y =1004，1003，1002，……，3，2，1时和前面的情况就有重复，不再计入。

所以满足题设的三角形共有：1+3+5+7+9+……+2009=1010025。

例3.有架楼梯共6级，每次只允许上一级或两级，求上完这架楼梯共有多少种不同的走法?

【中公解析】13种不同的走法。根据走两级楼梯的次数不同，分类讨论如下：

第一类：有0次走两级楼梯，共需要走6步，只有1种走法;

所以上完这架楼梯共有：1+5+6+1=13种不同的走法。

例4.小王忘记了朋友手机号码的最后两位数字，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才能保证拨对朋友的手机号码?【2008-国考-107】

A.90     B.50     C.45     D.20

【中公解析】答案B。

解法一：分步讨论：最后一位是奇数，可以是1、3、5、7、9，共5种选择;倒数第二位可以是0-9任意数字，共10种选择。所以最多要试5×10=50次。

解法二：如果对于数字敏感的话，易知号码后两位应该有00-99共100中情况，奇偶数各占一半，要求最后一位是奇数，则有100÷2=50种情况，即最多要拨50次。

例5.在1、2、3、4、5……499、500中，问数字“2”在这些数中一共出现了多少次?

A.100     B.120     C.180     D.200

【中公解析】答案D。将出现“2”的数进行分类讨论，如下：

1-9：2出现1次;10-99：2出现19次;所以，1-99：2出现20次;

由此可推知，100-199：也是20次;200-299：120次;300-399：20次;400-500：20次。

综上可知，“2”总共出现20+20+120+20+20=200次，选择D。

总结：(一)解题思想：“全面、不重复”;(二)掌握“分类相加、分步相乘”的计数原理。