公务员考试数学运算--容斥原理

十七、容斥原理

1．关键提示：

容斥原理是2004年、2005年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。

2．核心公式：

（1）两个集合的容斥关系公式：
 
A＋B＝A∪B＋A∩B

（2）三个集合的容斥关系公式：
 
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

例题1：2004年中央A类真题

某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是(    )。

A．22    B．18    C．28    D．26

解析：设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）

显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，

则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22

所以，答案为A。

例题2：2004年山东真题

某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（   ）人

A.57     B.73     C.130     D.69

解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）

显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，

则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57

所以，答案为A。

例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？

解析：设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34）

显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）

则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85

所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15

所以，答案为15。

例题4：2005年中央A类真题

对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：

A．22人     B．28人    C．30人    D．36人

解析：设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）

A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）

B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）

A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）

A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）

根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）

＝148－（100＋18＋16－12）＝26

所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C

＝52－16－26＋12

＝22