数学运算基础知识库

【中公提示】本篇为中公教育针对公务员考试编写的数量关系中数学运算基础知识。

一、数字特性

掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。（下列规律仅限自然数内讨论）

（一）奇偶运算基本法则

【基础】奇数±奇数=偶数；

偶数±偶数=偶数；

偶数±奇数=奇数；

奇数±偶数=奇数。

【推论】

1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

（二）整除判定基本法则

1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；

能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

2．能被3、9整除的数的数字特性

能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

3．能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

（三）倍数关系核心判定特征

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

如果x＝mny（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。

二、乘法与因式分解公式

正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc；

逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c；（又叫“提取公因式法”）

平方差：

a² -b²=(a-b)(a+b)；

完全平方和/差：(a±b)²=a²±2ab+b²；

立方和：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

立方差：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)；

完全立方和/差：(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³；

等比数列求和公式：S=a1（1-qⁿ）/(1-q) (q≠1)；

等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

三、三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨；丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨；-丨a丨≤a≤丨a丨。

四、某些数列的前n项和

1+2+3+…+n=n(n+1)/2；

1+3+5+…+(2n-1)=n²；

2+4+6+…+(2n)=n(n+1)；

1²+3²+5²+…+(2n-1)²=n(4n²-1)/3

1³+2³+3³+…+n³==(n+1)²*n²/4

1³+3³+5³+…+(2n-1)³=n²(2n²-1)

1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3

五、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：

（1）1n(n+1)=1n-1n+1

（2）1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1)

（3）1n(n+1)(n+2)=12［1n(n+1)-1(n+1)(n+2)］

（4）1a+b＝1a-b（a-b）(a＞0，b＞0且a≠b)

（5）kn×（n-k）＝1n-k-1n

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

六、小数基本常识

(一)需要熟记的一些有限小数

1/2＝0．5，1/4＝0．25，3/4＝0．75；

1/8＝0．125，3/8＝0．375，5/8＝0．625，7/8＝0．875；

1/5＝0．2，2/5＝0．4，3/5＝0．6，4/5＝0．8。

（二）需要熟记的一些无限循环小数

1/3＝0．3·≈0．333，2/3＝0．6·≈0．667，1/6＝0．16·≈0．167，

5/6＝0．83·≈0．833，1/9＝0．1·≈0．111，1/11＝0．09·≈0．0909；

1/7＝0．142857·，2/7＝0．285714·，3/7＝0．428571·；

4/7＝0．571428·，5/7＝0．714285·，6/7＝0．857142·。

（三）需要熟记的一些无限不循环小数

π＝3．14151926…，因此在一些情况下π²≈10。

七、余数相关问题

余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）

除数：在除法算式中，除号后面的数叫做除数。如：8÷2=4，则2为除数，8为被除数

被除数：除法运算中被另一个数所除的数,如24÷8=3,其中24是被除数

余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数

推论：被除数＞余数×商（利用上面两个式子联合便可得到）

常见题型

余数问题：利用余数基本恒等式解题

同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题

常用解题方法：代入法、试值法

注意：对于非特殊形式的同余问题，如果运用代入法和简单的试值法无法得到答案，那么这样的题目基本是不会涉及的，考生无需再做特别准备。

八、日历问题

平年与闰年

判断方法一共天数2月平年年份不能被4整除365天28天闰年年份可以被4整除366天29天

大月与小月

包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、腊（十二）月31天小月二、四、六、九、十一月30天（2月除外）

九、平均数问题

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。公式为：

总数量和÷总份数=平均数；平均数×总份数=总数量和；总数量和÷平均数=总份数。

解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。

十、工程问题

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及工作量、工作效率、工作时间这三个量。

它们之间的基本数量关系：工作量=工作效率×时间；所需时间=工作量÷工作效率